Keindahan MATEMATIKA dan CINTA Allah

Keindahan matimatika
1 x 8 + 1= 9
12 x 8 + 2= 98
123 x 8 + 3= 987
1234 x 8 + 4= 9876
12345 x 8 + 5= 98765
123456 x 8 + 6= 987654
1234567 x 8 + 7= 9876543
12345678 x 8 + 8= 98765432
123456789 x 8 + 9= 987654321
1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111
9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888
cemerlang bukan? Dan lihat simetri ini:
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111 = 12345678987654321
Sekarang, lihatlah ini ...
101% Dari sudut pandang ketat matematika:
Apa Sama 100%?
Apa artinya memberi LEBIH dari 100%?
Pernah bertanya-tanya tentang orang-orang yang mengatakan mereka memberikan lebih dari 100%?
Kita semua telah dalam situasi di mana seseorang ingin Anda untuk MEMBERI LEBIH dari 100% ...
Bagaimana MENCAPAI 101%?
Apa sama dengan 100% dalam hidup?
Bagaimana dengan Cinta Allah?

Berikut sedikit rumus matematika yang mungkin bisa membantu menjawab pertanyaan-pertanyaan ini:
Jika:

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Digambarkan sebagai:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26
Kemudian :
H-A-R-D-W-O-R-K
8+1+18+4+23+15+18+11 = 98%
Dan :
K-N-O-W-L-E-D-G-E
11+14+15+23+12+5+4+7+5 = 96%
A-T-T-I-T-U-D-E
1+20+20+9+20+21+4+5 = 100%
Kemudian, lihat seberapa jauh Cinta Allah akan membawamu:
L-O-V-E-O-F-G-O-D
12+15+22+5+15+6+7+15+4 = 101%
atau,
S-A-Y-A-N-G-A-L-L-A-H

19 + 1 + 25 + 1 + 14 + 7 + 1 + 12 + 12 + 1 + 8 = 101%

( artinya, Cinta & Kasih Sayang Tuhan (ALLAH) melampaui Segalanya...)

Oleh karena itu, kita dapat menyimpulkan dengan kepastian matematika bahwa:
Sementara Kerja Keras dan Pengetahuan akan membuat Kamu dekat,
dan Sikap akan membuat kamu ada.
Ini adalah Cinta Allah yang akan menempatkan kamu di atas!



Copy of ESC Creation

Aku dan Basic Science'06 Part 1

Teringat ketika pertama kali menginjakkan kaki di Yogyakarta, tepatnya 19 Desember 2006 sekitar pukul satu siang. Saat itu dengan perasaan yang masih belum percaya diriku telah sampai ke Pulau Jawa meninggalkan keluarga tercinta demi masa depan yang cemerlang. Tuhan telah membukakan jalannya untuk menggapai cita-cita yang telah lama aku dambakan, cita-cita yang tak terucap dan tersimpan dalam hati, cita-cita yang hampir sirna karena keterbatasan materi, cita-cita yang rasanya belum tentu terwujud, yaitu Guru. Berbekal beberapa lembar rupiah dan beberapa helai pakaian, masih terasa lembab di pipi oleh air mata yang mengalir meninggalkan kampung halaman, perut yang masih mual akibat mabuk perjalanan (pertama kali naik pesawat,,hehehe), kubulatkan tekad berjuang dengan semua kemampuan yang aku punya untuk melaksanakan tugas demi masa depan keluarga dan masa depan putra bangsa terutama putra-putri Landak penerus bangsa.

Rasanya tubuh ini ingin segera beristirahat, baju yang sedari subuh melekat di badan ingin segera minta diganti. Aroma badan yang sudah tidak jelas apa jenisnya harus segera dilepaskan. Beberapa menit mengitari jalan dari Bandara Adisucipto menuju PPPG Matematika (Pusat Pengembangan dan Pendidikan Guru Matematika) sekarang dikenal dengan PPPPTK (Pusat Pengembangan dan Pemberdayaan Pendidik dan Tenaga Kependidikan) Matematika yang terletak di Sambisari, Condongcatur. Aku beserta rombongan disambut dengan sangat baik oleh pihak PPPPTK Matematika Yogyakarta. Dengan rasa penat yang ingin segera kubuang jauh-jauh, kulangkahkan kaki menuju Asrama Bougenvile. Bersama sahabatku Mery Melinda kami merebahkan badan di kasur pada salah satu kamar yang telah kami pilih. Tepat disebelah lobby kamar itu berada.

Kembali teringat keluargaku nun jauh disana, segera kuambil hp dan kutelepon orangtuaku dan mengabarkan semua yang aku alami selama perjalanan dan sampai di asrama yang nyaman dan aman. Sambil melepas penat yang sedari tadi ingin kubuang jauh-jauh, sambil berbaring aku terus berharap suatu saat kelak aku harus menjadi apa yang aku cita-citakan dan orangtuaku harapkan. Bersama sahabatku yang kukenal sejak SMP kami menikmati malam pertama di PPPPTK Matematika dengan sebuah cita-cita yang nyata, menjadi kebanggaan keluarga dan kebanggaan Landak tercinta.

Ini tahun pertama aku memulai langkah menuntut ilmu di Yogyakarta, tepatnya Universitas Negeri Yogyakarta (UNY). Dengan beberapa lembar rupiah yang diberikan bapakku tercinta, beberapa kebutuhan telah kubeli. Dengan semangat yang kubawa bersama cinta kasih orang tua dan saudara-saudaraku, kumulai lembar baru menuju masa depan.Cinta ibu selalu mengiringi langkahku.

Terimakasih Ibu, engkaulah tumpuan hatiku. Engkau penerang hatiku yang gelap. Cahaya cintamu tak akan padam sampai akhir hayat. Ibu, cintamu begitu suci. Cintamu tak akan sirna sampai akhir hayatku. Aku akan selalu merindukanmu. Selamat Hari Ibu (22 Desember 2006).

Bersambung....

Mengapa Sarang Lebah Segi Enam?

Hampir semua orang tahu bahwa madu adalah sumber makanan penting bagi tubuh manusia, tetapi sedikit sekali manusia yang menyedari sifat-sifat luar biasa dari penghasilnya, yaitu lebah madu.

Sebagaimana kita ketahui, sumber makanan lebah adalah nektar, yang tidak dijumpai pada musim dingin. Oleh kerana itulah, lebah mencampur nektar yang mereka kumpulkan pada musim panas dengan cairan khusus yang dikeluarkan tubuh mereka. Campuran ini menghasilkan zat bergizi yang baru-iaitu madu dan menyimpannya untuk musim dingin yang akan datang.

Sungguh menarik untuk diketahui  bahawa lebah menyimpan madu jauh lebih banyak dari yang sebenarnya. Pertanyaan pertama yang muncul pada benak kita adalah: mengapa lebah tidak menghentikan produksi berlebih ini, yang tampaknya hanya membuang-buang waktu dan energi? Jawaban untuk pertanyaan ini tersembunyi dalam kata “wahyu” yang telah diberikan kepada lebah, seperti disebutkan dalam ayat tadi.

Lebah memproduksi madu bukan untuk diri mereka sendiri, melainkan juga untuk manusia. Sebagaimana makhluk lain di alam, lebah juga mengabdikan diri untuk melayani manusia; sama seperti ayam yang bertelur setidaknya sebutir setiap hari kendatipun tidak membutuhkannya dan sapi yang memproduksi susu jauh melebihi kebutuhan anak-anaknya.

Berikut Fakta Mengapa Sarang Lebah Berbentuk Segi Enam  yakni:

Fakta Pertama Sarang lebah berbentuk heksagonal atau segi enam yang berfungsi sebagai tempat penyimpanan madu. Setelah melalui penelitian panjang, para ahli matematika menyimpulkan bentuk inilah yang paling optimal sebagai tempat penyimpanan madu, dilihat dari segi efektivitas ruang yang terbentuk dan bahan yang digunakan untuk membuatnya.

Bentuk heksagonal yang simetris, jika digabungkan akan menghasilkan kombinasi ruang guna yang sempurna, yaitu tidak menghasilkan ruang-ruang sisa yang tak berguna, seperti jika ruang-ruang yang berpenampang lingkaran atau segilima. Lebih jauh, bentuk ruang dengan penampang segitiga atau segiempat bisa jadi juga menghasilkan kombinasi yang optimal. Walaupun demikian, bahan baku yang dibutuhkan untuk membuat bentuk-bentuk ini ternyata lebih banyak daripada yang dibutuhkan untuk membuat bentuk ruang dengan penampang heksagonal. Ruang penyimpanan berbentuk heksagonal, ternyata membutuhkan bahan baku lilin paling sedikit, dengan daya tampung terbesar.

Lebah membangun sarangnya dengan menyusun dari sudut-sudut yang berbeda, biasanya dari empat titik yang berbeda dan bertemu di tengah. Dalam tingkat kesalahannya sangat kecil bahkan tanpa kesalahan sedikitpun. Sarang berbentuk segi enam merupakan bentuk yang terbaik karena dalam hal ini lebah menyimpan madu dalam jumlah besar.

Penggunaan bahan baku lilin pun sedikit. Dalam rongga sarang yang dibuat lebah antara satu dengan yang lainnya dibelakang selalu dibuat dengan kemiringan 13 derajat dengan posisi miring keatas. Dengan maksud agar madu yang telah disimpan tidak tumpah dalam masa penyimpanan.

Sarang yang dibangun lebah dapat menampung 80 ribu lebah yang hidup dan bekerja bersama-sama, dengan menggunakan sedikit bagian dari lilin lebah.

Sarang tersebut tersusun atas sarang madu berdinding lilin lebah, dengan ratusan sel-sel kecil pada kedua permukaannya. Semua sel sarang madu berukuran sama persis. Keajaiban teknik ini dicapai melalui kerja kolektif ribuan lebah. Lebah menggunakan sel-sel ini untuk menyimpan makanan dan memelihara lebah muda.

Selama jutaan tahun, lebah telah menggunakan struktur segi enam untuk membangun sarangnya. (Sebuah fosil lebah yang berusia 100 juta tahun telah ditemukan). Sungguh menakjubkan bahwa mereka memilih struktur segi enam, bukan segi delapan atau segi lima. Ahli matematik memberikan alasannya: “struktur segi enam adalah bentuk geometris yang paling sesuai untuk memanfaatkan setiap bahagian unit secara maksimum”. Jika sel-sel sarang madu dibangun dengan bentuk lain, akan terdapat bahagian yang tidak terpakai, sehingga lebih sedikit madu yang bisa disimpan dan lebih sedikit lebah yang mendapatkan manfaatnya.

Pada kedalaman yang sama, bentuk sel segi tiga atau segi empat dapat menampung jumlah madu yang sama dengan sel segi enam. Akan tetapi, dari semua bentuk geometris tersebut, segi enam memiliki keliling yang paling pendek.

Kesimpulannya: sel berbentuk segi enam memerlukan jumlah lilin paling sedikit dalam pembangunannya, dan menyimpan madu paling banyak. Lebah tentu tidak akan mampu menghitung ini, yang hanya dapat dilakukan manusia dengan perhitungan geometris yang rumit. Hewan kecil ini menggunakan bentuk segi enam secara fitrah, hanya karena mereka diajari atau “diilhami” oleh Tuhan mereka.

Dilihat dari aspek ekonomi bangunan, lebah telah memberi contoh kepada manusia tentang optimalisasi biaya tanpa mengurangi nilai estetika bangunan. Suatu pelajaran yang sangat patut dikagumi dari makhluk mungil ini, yang membangun sarangnya.

Fakta kedua yang juga menakjubkan dari sarang lebah, adalah keteraturan sudut yang sangat akurat. Setiap rongga dibangun dengan kemiringan tiga belas derajat, dengan bagian yang lebih rendah berada di dalam. Sudut-sudut ini selalu berulang dengan tingkat akurasi yang sempurna. Dengan demikian, madu yang disimpan tidak akan mengalir ke luar.

Dari segi kekuatan, sarang lebah yang menggantung dan tampak rentan terhadap kerusakan ini, sebenarnya memiliki kekuatan yang besar. Hal ini ditunjukkan oleh kemampuan sarang itu untuk menahan beban beratus-ratus lebah, sekaligus menampung madu di dalam setiap rongganya. Dengan demikian, sistem perekatan yang digunakan untuk menggantung sarang di tempat-tempat yang tinggi pun memiliki tingkat kekokohan yang tinggi.

Lebih jauh, kita dapat menemukan hal yang menakjubkan dari teknik lebah dalam bekerja sama membangun sarangnya. Lebah-lebah itu memulai membangun sarang dari beberapa titik yang berbeda. Mereka membentuk kelompok kerja yang bekerja dari tempat-tempat yang berbeda, sampai akhirnya kantung-kantung heksagonal yang terbentuk bertemu di tengah-tengah, dengan tingkat ketepatan yang sempurna.

Pada sarang lebah kita juga dapat menemui penerapan dari berbagai prinsip estetika atau keindahan. Simetrisitas yang terdapat dalam pengaturan komposisi geometris pada sarang lebah memberikan kesan keseimbangan yang sangat kuat secara keseluruhan. Penggunaan bentuk-bentuk heksagonal yang berapit secara sempurna menghasilkan kesatuan desain yang diperoleh melalui perulangan-perulangan yang teratur. Di balik bentuknya yang sederhana, kita dapat melihat kerumitan yang terdapat dalam setiap detail pembuatannya, berupa presisi ukuran yang sangat sempurna, keteraturan perletakan dan ketepatan pemilihan bentuk dan komposisi.

Fakta Ketiga adalah Pengaturan kelembapan dan ventilasi: Kelembapan sarang, yang membuat madu memiliki kualitas perlindungan tinggi, harus dijaga pada batas-batas tertentu. Pada kelembapan di atas atau di bawah batas ini, madu akan rusak serta kehilangan kualitas perlindungan dan gizinya. Begitu juga, suhu sarang harus 35 C selama sepuluh bulan pada tahun tersebut. Untuk menjaga suhu dan kelembapan sarang ini pada batas tertentu, ada kelompok khusus yang bertugas menjaga ventilasi.

Jika hari panas, terlihat lebah sedang mengatur ventilasi sarang. Jalan masuk sarang dipenuhi lebah. Sambil menempel pada struktur kayu, mereka mengipasi sarang dengan sayap. Dalam sarang standar, udara yang masuk dari satu sisi terdorong keluar pada sisi yang lain. Lebah ventilator yang lain bekerja di dalam sarang, mendorong udara ke semua sudut sarang. Sistem ventilasi ini juga bermanfaat melindungi sarang dari asap dan pencemaran udara.

Fakta Keempat adalah Sistem kesehatan: Lebah  menjaga kualitas madu tidak terbatas hanya pada pengaturan kelembapan dan panas. Di dalam sarang terdapat sistem pemeliharaan kesehatan yang sempurna untuk mengendalikan segala peristiwa yang mungkin menimbulkan bakteria. Tujuan utama sistem ini adalah menghilangkan zat-zat yang mungkin menimbulkan bakteria. Prinsipnya adalah mencegah zat-zat asing memasuki sarang. Untuk itu, dua penjaga selalu ditempatkan pada pintu sarang. Jika suatu zat asing atau serangga memasuki sarang walau sudah ada tindakan pencegahan ini, semua lebah berusaha untuk mengusirnya dari sarang.

Sudah jelas lebah tidak memiliki pengetahuan apa pun tentang ini, apalagi laboratorium. Lebah hanyalah seekor serangga yang panjangnya 1-2 cm dan ia melakukan ini semua dengan apa yang telah diilhamkan Tuhannya.

MATEMATIKA DAN OBESITAS

Pintar dalam pelajaran matematika menjadi salah satu keuntungan seorang anak yang aktif bergerak. Dalam hal ini anak-anak yang mengalami obesitas atau kelebihan berat badan.

Latihan reguler menambah kemampuan anak-anak yang mengalami kelebihan berat badan, yang biasanya hanya duduk diam, untuk bisa berpikir, membuat berbagai rencana, bahkan bisa berkembang dalam pelajaran matematika. Demikian temuan para peneliti di Georgia Health Sciences University.
Mengapa harus pelajaran matematika? Tidak dijelaskan mengapa, namun alasan utama adalah karena matematika adalah pelajaran yang memiliki tingkat kesulitan lebih tinggi dibandingkan dengan pelajaran lain dan juga memerlukan konsentrasi lebih untuk mempelajarinya.
Para peneliti juga mengharapkan agar tidak hanya anak obesitas yang harus menjalani olahraga setiap hari, namun juga mereka yang bertubuh biasa-biasa saja. Penelitian tersebut didasarkan pada pengamatan terhadap 171 anak overweight usia 7 hingga 11 tahun.
Setelah  melakukan olahraga setiap hari, terdapat perkembangan yang sangat signifikan dalam hal kebugaran dan keahlian dalam matematika. Menurut situs Pysch Central, setelah dilakukan scan MRI terhadap otak anak-anak itu, terdapat peningkatan aktivitas otak di korteks prefrontal, area yang biasa dipakai untuk berpikir.
Selain itu, IQ pun bertambah. Semakin sering mereka berolahraga, semakin tinggi IQ. Rata-rata terjadi kenaikan 3,8 poin untuk mereka yang berlatih 40 menit per hari setelah sekolah, selama tiga bulan. Olahraga yang dilakukan bisa beragam: hula hoop, berlari, lompat tali, dan olahraga lainnya, termasuk juga berenang dan bersepeda.
Semua olahraga itu juga membuat rangsang otak lebih aktif. Semuanya dari pergerakan yang dilakukan yang kemudian membuat darah lebih lancar mengalir, sehingga suplai oksigen pun lancar juga.
Intinya, seorang anak tidak mungkin bisa bergerak jika otak tidak aktif. Untuk bisa aktif, dibutuhkan oksigen, dan seterusnya. Semuanya menjadi saling berhubungan. Karena itu, jika ada anak yang mengalami kelebihan berat badan, jangan biarkan mereka duduk diam. Ajaklah untuk bergerak sesering mungkin. (GHS/Dian Savitri)

Editor : Soegeng Haryadi

Sumber : Kompas.com

SEGITIGA

Segitiga adalah bangun datar yang memiliki 3 sisi. Berdasarkan jenisnya maka ada 5 macam segitiga
1. Segitiga siku-siku : yaiyu segitiga yang salah satu sudutnya 90^o
2. Segitiga tumpul : segitiga yang salah satu sudutnya lebih besar dari 90^o
3. Segitiga lancip : segitiga yang setiap sudutnya lebih kecil dari 90^o
4. Segitiga sama kaki : segitiga yang memiliki 2 sisi yang sama bisa juga disebut segitiga yang memiliki 2 sudut yang sama
5. Segitiga sama sisi : segitiga yang memiliki 3 sisi yang sama, bisa juga disebut segitiga yang memiliki 3 sudut yang sama

Pada setiap segitiga, jumlah ketiga sudutnya adalah 180^o. Jadi, jika ada segitiga ABC maka

A + B + C = 180^o

Mengapa jumlah ketiga sudut pada segitiga 180^o?
sebelum menjawab ini kita lihat aturan perhitungan sudut sebagai berikut :
* satu putaran penuh = 360^o
* Setengah putaran = 180^o
* Seperempat putaran = 90^o
dan sebagainya

Jadi maksud dari pertanyaan di atas adalah buktikan bahwa jumlah ketiga sudut segitiga adalah setengah putaran.
Nah sekarang perhatikan gambar berikut :

Jadi

Jadi terbukti bahwa jumlah ketiga sudut pada segitiga adalah 180^o

Luas segitiga
Untuk menghitung luas segitiga, ada beberapa rumus yang kita kenal,
1. Rumus paling sederhana

L = ½ at

a = alas
t = tinggi Rumus ini adalah rumus yang dikenal oleh anak-anak sejak masih SD

2. Jika diketahui dua sisi dan 1 sudut

L =½ ab sin C
L =½ ac sin B
L = ½ bc sin A

Rumus ini biasanya dikenal anak-anak ketika mempelajari Trigonometri
3. Jika diketahui ketiga sisinya

Dengan S = ½ (a+b+c)

RENCANA PELAKSANAAN PELAJARAN

(RPP)

Satuan Pendidikan           : SMP Negeri 4 Depok

Mata Pelajaran                : Matematika

Kelas/Semester                : VIII/1

Alokasi Waktu                  : 4 x 40 menit (2 x pertemuan)

A.      Standar Kompetensi

1.      Memahami bentuk aljabar. relasi, fungsi dan persamaan    garis lurus

B.       Kompetensi Dasar

1.2 Menguraikan bentuk aljabar kedalam faktor- faktornya

C.      Indikator

1.2.1   Menentukan faktor-faktor suku aljabar dengan    menggunakan sifat distributif

1.2.2   Menentukan faktor-faktor suku aljabar dengan selisih  kuadrat

1.2.3   Mengubah bentuk aljabar kedalam faktor-faktornya

D.      Tujuan Pembelajaran

1.   Peserta didik dapat memfaktorkan bentuk aljabar dengan menggunakan sifat distributif

2.   Peserta didik dapat memfaktorkan bentuk aljabar yang berbentuk selisih   kuadrat

3.   Peserta didik dapat mengubah suku-suku aljabar kedalam bentuk faktor-faktornya.

E.        Materi Ajar

1.   Pemfaktoran dengan sifat distributif

Pada bagian ini, akan dipelajari cara-cara memfaktorkan suatu bentuk aljabar dengan menggunakan sifat distributif. Dengan sifat ini, bentuk aljabar ax + ay dapat difaktorkan menjadi a(x + y), di mana a adalah faktor persekutuan dari ax dan ay.

Contoh.

Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut.

a. 5ab + 10b

b. 2x – 8x²y

Penyelesaiannya:

a.       5ab + 10b

Faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5.

Faktor persekutuan dari ab dan b adalah b.

Jadi, 5ab + 10b difaktorkan menjadi 5b(a+2)

b.      2x – 8x²y

Faktor persekutuan dari 2 dan -8 adalah 2.

Faktor persekutuan dari x dan x²y adalah x.

Jadi, 2x – 8x²y = 2x(1- 4xy)

2. Selisih  Kuadrat

Perhatikan bentuk perkalian (a + b)(a – b). Bentuk ini dapat ditulis

 (a + b)(a – b) = a² – ab + ab – b² = a² – b².

Jadi, bentuk a² – b² dapat dinyatakan dalam bentuk perkalian (a + b) (a – b).

a² – b² = (a + b)(a – b). Bentuk a² – b² disebut selisih  kuadrat

Faktorkan bentuk-bentuk berikut.

a. p² – 4

b. 25x² – y²

c. 16 m² – 9n²

d. 20p² – 5q²

Jawab:

a. p² – 4 = (p + 2)(p – 2)

b. 25x² – y² = (5x + y)(5x – y)

c. 16m² – 9n² = (4m + 3n)(4m – 3n)

d. 20p² – 5q² = 5(4p² – q²) = 5(2p + q)(2p – q)

3.      Pemfaktoran bentuk aljabar.

Pemfaktoran atau faktorisasi bentuk aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan menjadi suatu bentuk perkalian dari bentuk aljabar tersebut. faktorisasi dari beberapa bentuk aljabar diantaranya adalah:

a.      Bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

Perhatikan perkalian suku dua berikut. (x + p)(x + q) = x² + qx + px + pq

= x² + (p + q)x + pq. Jadi, bentuk x² + (p + q) x + pq dapat difaktorkan menjadi (x + p) (x + q). Misalkan, x² + (p + q) x + pq = ax² + bx + c sehingga a = 1, b = p + q, dan c = pq. Dari pemisalan tersebut, dapat dilihat bahwa p dan q merupakan faktor dari c. Jika p dan q dijumlahkan, hasilnya adalah b. Dengan demikian untuk memfaktorkan bentuk ax² + bx + c dengan a = 1, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari c dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan b.

Contoh.

Faktorkanlah bentuk-bentuk berikut.

a. x² + 5x + 6

 b. x² + 2x – 8

Jawab:

a. x² + 5x + 6 = (x + …) (x + …)

Misalkan, x² + 5x + 6 = ax² + bx + c, diperoleh a = 1, b = 5, dan

c = 6. Untuk mengisi titik-titik, tentukan dua bilangan yang merupakan faktor dari 6 dan apabila kedua bilangan tersebut dijumlahkan, hasilnya sama dengan 5. Faktor dari 6 adalah 6 dan 1 atau 2 dan 3, yang memenuhi syarat adalah 2 dan 3 karena 2 + 3 = 5 dan 2 x 3 = 6.

Jadi, x² + 5x + 6 = (x + 2) (x + 3)

b. x² + 2x – 8 = (x + …) (x + …)

Dengan cara seperti pada (a), diperoleh a = 1, b = 2, dan c = –8.

Faktor dari 8 adalah 1, 2, 4, dan 8. Oleh karena c = –8, salah satu dari

dua bilangan yang dicari pastilah bernilai negatif. Dengan demikian, dua bilangan yang memenuhi syarat adalah –2 dan 4, karena –2 × 4 = –8 dan –2 + 4 = 2.

Jadi, x² + 2x – 8 = (x + (–2)) (x + 4) = (x – 2) (x + 4)

b.      Bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1, a ≠ 0

Perhatikan perkalian suku dua berikut.(x + 3) (2x + 1) = 2x² + x + 6x + 3

= 2x² + 7x + 3 Dengan kata lain, bentuk 2x² + 7x + 3 difaktorkan menjadi (x + 3) (2x + 1). Adapun cara memfaktorkan 2x² + 7x + 3 adalah dengan membalikkan tahapan perkalian suku dua di atas.

2x² + 7x + 3 = 2x² + (x + 6 x) +3  ( Uraikan 7x menjadi penjumlahan dua

= (2x² + x) + (6x + 3)                    suku yaitu pilih ( x + 6x ) )

= x(2x + 1) + 3(2x + 1)               Faktorkan menggunakan sifat distributif

= (x + 3)(2x+1)

Dari uraian tersebut dapat kamu ketahui cara memfaktorkan bentuk

ax² + bx + c dengan a ≠ 1 sebagai berikut.

1) Uraikan bx menjadi penjumlahan dua suku yang apabila kedua suku

tersebut dikalikan hasilnya sama dengan (ax²)(c).

2) Faktorkan bentuk yang diperoleh menggunakan sifat distributif

Contoh.

Faktorkan bentuk-bentuk berikut.

a.       2x² + 11x + 12

b.       6x² + 16x + 18

Jawab.

a. 2x² + 11x + 12 = 2x² + 3x + 8x + 12

= (2x² + 3x) + (8x + 12)

= x(2x + 3) + 4(2x + 3)

= (x + 4)(2x + 3)

Jadi, 2x² + 11x + 12 = (x + 4)(2x + 3).

b. 6x² + 16x + 8    = 6x² + 4x + 12x + 8

= (6x² + 4x) + (12x + 8)

= 2x(3x + 2) + 4(3x + 2)

= (2x + 4)(3x + 2)

Jadi, 6x² + 16x + 8 = (2x + 4)(3x +2)

F.     Metode Pembelajaran

Ekspositori dan pemberian tugas

G.    Langkah – langkah kegiatan pembelajaran

Pertemuan ke-1

Tujuan: - Menentukan faktor-faktor suku aljabar dengan  menggunakan  sifat distributif.

-  Menentukan faktor-faktor suku aljabar dengan selisih dua kuadrat.

                        I.          Kegiatan Awal

1.      Apersepsi : Mengingat kembali pengertian variabel, koefisien dan konstanta serta suku pada bentuk aljabar.

2.      Motivasi   : Memotivasi peserta didik dengan memberi penjelasan tentang pentingnya mempelajari materi ini yaitu Aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dapat mempermudah masalah-masalah yang dijabarkan dalam bentuk aljabar

                II.          Kegiatan Inti

1.    Peserta didik diberikan stimulus materi oleh pendidik mengenai cara menentukan faktor-faktor suku aljabar dengan  menggunakan  sifat distributif dan menentukan faktor-faktor suku aljabar dengan selisih dua kuadrat.  kemudian antara peserta didik dan pendidik mendiskusikan materi tersebut.

2.        Peserta didik dibagi ke dalam beberapa kelompok

3.        Masing-masing kelompok diberi tugas untuk menyelesaikan lembar kegiatan siswa I yang berupa latihan soal dengan bimbingan guru.

4.        Tiap kelompok menuliskan hasil kerjanya dipapan tulis, kelompok lain memberi tanggapan dan guru memberikan klarifikasi jika terjadi kesalahan.

5.        Setelah semua kelompok menyampaikan hasil kerjanya, siswa diberikan kesempatan untuk bertanya apabila ada yang belum jelas.

             III.          Penutup

1.         Peserta didik membuat rangkuman subbab yang telah dipelajari.

2.         Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) dari soal-soal “Uji Kompetensi” dalam buku BSE yang belum terselesaikan/dibahas di kelas.

Pertemuan Ke-2

Tujuan : Mengubah suku-suku aljabar kedalam bentuk faktor-faktornya.

              I.          Kegiatan Awal

1.    Apersepsi: Mengingat kembali bahwa faktorisasi prima dari suatu bilangan adalah perkalian faktor-faktor prima dari bilangan tersebut.

2.    Motivasi: Peserta didik diberikan penjelasan tentang pentingnya mempelajari materi ini yaitu peserta didik dapat  menentukan faktor-faktor suku aljabar untuk menghadapi ulangan harian pada pertemuan berikutnya.

           II.          Kegiatan inti

1.      Peserta didik diberikan stimulus materi oleh pendidik mengenai cara mengenai menguraikan bentuk aljabar ke dalam faktor-faktornya (memfaktorkan bentuk aljabar) (Bahan: buku BSE, yaitu buku Matematika Konsep dan Aplikasinya SMP Kelas VIII Semester 1, karangan Dewi  Nuharini dan  Tri Wahyuni hal. 4-23 Peserta didik dan pendidik secara bersama-sama membahas contoh dalam buku BSE pada hal. 19-20 mengenai cara memfaktorkan bentuk , jika , dan hal. 22-23 mengenai cara memfaktorkan bentuk  jika .

2.   Peserta didik dibagi ke dalam beberapa kelompok

3.   Masing-masing kelompok diberi tugas untuk menyelesaikan lembar kegiatan siswa  II dengan bimbingan guru.

4.   Tiap kelompok menuliskan hasil kerjanya dipapan tulis, kelompok lain memberi tanggapan dan guru memberikan klarifikasi jika terjadi kesalahan.

5.   Setelah semua kelompok menyampaikan hasil kerjanya, siswa diberikan kesempatan untuk bertanya apabila ada yang belum jelas.

                         III.            Penutup

1.      Peserta didik membuat rangkuman subbab yang telah dipelajari.

2.      Peserta didik diberikan pekerjaan rumah (PR) dari soal-soal “Uji Kompetensi” dalam buku BSE yang belum terselesaikan/dibahas di kelas.

H.    Sumber belajar

BSE: Dewi Nuharini dan Tri Wahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya 2. Depdiknas. Jakarta

I.       Penilaian

Teknik                         : Tugas individu

Bentuk Instrumen       : uraian singkat

Instrumen                    :          

1.      Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut :

b.       –15p²q² + 10pq 

c.      

d.    x² + 3x

e.     a² + ab

f.      pq²r³ + 2p²qr + 3pqr

2.      Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut :

a. x² – 49

b. 4x² – y²

c.  2r⁴ – 8

d. p⁴ – q⁴

e.  64m² – 81n²

3.      Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut :

a. x²+ 4x - 12

b. x² + 8x + 15

c.  x² – 3x - 4

d. x² + 3x + 2

e.  x² + 3x - 10

4.      Faktorkan bentuk-bentuk aljabar berikut :

a. 6x² + 14x + 4

b. -3x² + 17x - 10

c.  30x² + 8x - 6

d. 2x² +20x +32

e.  3x² – 20x +32

 

LEMBAR KERJA  SISWA

(LKS 1)

Nama               : .................................................................

Hari/Tgl           : .................................................................

Diskusikan dan kerjakan bersama teman kelompok belajarmu.

Tujuan: - Peserta didik dapat memfaktorkan bentuk aljabar dengan menggunakan sifat distributif

-  Peserta didik dapat memfaktorkan bentuk aljabar yang berbentuk selisih   kuadrat

a.         Faktorisasi Bentuk Aljabar px + py = p(x + y) yaitu dengan menggunakan sifat distributif

Faktorkanlah !

a.         4x + 4              = ......(......+.......)

b.         2p + 6             = ......(......+.......)

c.         p² – 2p             = ......(..... –.......)

d.         12xy – 6y²        = ......(..... –.......)

e.         4a²b³ – 16a³b² = ......(..... –.......)

f.          15xy³ + 35x²y  = ......(..... +.......)

g.         3p²- 12             = ......(..... +.......)

h.         8a² – 2b²          =......(..... +.......)

i.          15x² – 18xy      =......(..... +.......)

j.          x⁴ – 3x²            =......(..... +.......)

b.        Faktorkan Bentuk aljabar Selisih kuadrat

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut.

a.  x² – 4          = (                   ) (                     )

b. a² – 9b²          =(                    ) (                     )

c. 4p² – 36       =(                    ) (                     )

d. 9x² – 25y²    =(                    ) (                     )

e. x² – 64         = (                   ) (                     )

f. 9y² – 25        = (                   ) (                     )

g. 4x² – 121     = (                   ) (                     )

h. 16x² – y²      = (                   ) (                     )

i. a⁴ – 16          = (                   ) (                     )

j. x² – 1            = (                   ) (                     )

LEMBAR KERJA  SISWA

(LKS  2)

Nama               : .................................................................

Hari/Tgl           : .................................................................

Diskusikan dan kerjakan bersama teman kelompok belajarmu.

Tujuan: Mengubah suku-suku aljabar kedalam bentuk faktor-faktornya.

Pemfaktoran bentuk aljabar : Bentuk ax² + bx + c dengan a = 1

Faktorkanlah!

a.                  x² + 2x + 1      =

b.                  x² – x  - 6         =

c.                   x² + 11x + 30  =

d.                  x² – 7x + 10     =

e.                   x² – x – 56       =

f.                    x² + 8x + 15    =

g.                  x² + 12x + 27  =

h.                  x² + 3x – 28     =

i.                    x² + 9x + 18    =

j.                    x²- 4x + 4        =

Pemfaktoran bentuk aljabar : Bentuk ax² + bx + c dengan a ≠ 1

Faktorkanlah !

a.                   2x² +  9x  +10 =

b.                  5x² + 13x + 6  =

c.                   -3x² + 11x – 6 =

d.                  4x²  + 11x + 6 =

e.                   12x² + 17x + 6 =

f.                   3x² + 14x + 15 =

g.                  8x² +  2x   -3   =